Problemas matemáticos resueltos via la TI

En esta sesión veremos cómo utilizando la TI se pueden resolver algunos casos que requieren tanto cálculo difrencial o integral.


Caso I

Lata con bordes para
Se debe fabricar una lata en forma cilíndrica (tipo lata de aluminio de refresco) que contenga 1000 cm3 (1 litro). La tapa circular de la parte superior y del fondo deben tener un radio de 0.25 cm más que el radio de la lata para que el sobrante se utilice para sellar con la pared lateral. La hoja de material con que se construye la pared lateral también debe ser 0.25 cm más grande que la circunferencia de la lata de modo que pueda hacerse un sello lateral. Calcule la cantidad mínima de material necesaria para fabricar esta lata. Usted debe utilizar las variables r (el radio de la base de la lata) y h (la altura de la lata); relacionar las variables por medio de la fórmula del volumen para de esa relación hacer que la función de área total quede en función de una sola variable. Entonces debe minimizar la función utilizando la derivada; los métodos de obtención de raíces le servirán para encontrar el punto crítico.
Primeramente borremos las variables que utilizaremos en nuestras fórmulas y que queremos que se manejen en forma simbólica.
Limpieza de variables a usar
Seguido de ello, definimos una ecuación donde expresaremos el volumen de la lata cilíndrica como una ecuación desde donde despejaremos h, y también asignaremos a la variable f el área total de la lata. Observe que el área está compuesta por tres partes: Las tapas superior e inferior que son idénticas y que tienen radio 0.25 más que el radio de la lata (es decir, r + 0.25) y por la cara lateral que es un rectángulo con altura que es la altura de la lata y cuya base es circunferencia de la base de la lata más 0.25 centímetros. Observe que se está usando el valor de pi definido en la calculadora.
Fórmula de volumen y área
Lo siguiente que haremos será despejar de la relación de volumen la variable h y sustituirla en la fórmula de área. Note que por conveniencia volvemos a asignar a la variable que representa el área f la sustitución.
Despeje de h y sustitución en la fórmula del área
Para encontrar el mínimo de la función que determina el área, debemos derivar e igualar a cero. La ecuación que nos resulta será una ecuación que no podrá resolverse en forma exacta y debemos recurrir a los métodos numéricos programados ya en la calculadora. Estos métodos numéricos se invocan automáticamente cuandos se resuelven ecuaciones y está habilitada la opción de cálculos aproximados. Para habilitar tal opción, presionaremos la tecla MODE y buscaremos con las flechas del cursos la opción correspondiente que está casi al final de la lista.
Solicitar cálculos aproximados con MODE
Si solicitamos ver la variable que contiene el área de la lata f, vemos que el valor de pi está aproximado.
Valor de f en su forma aproximada
Ahora calculamos la derivada de la f y la asignamos a la variable fp para después igualar a cero y resolver para r. El comando de derivación está indicado en su teclado y tiene dos argumentos: la expresión a derivar y el nombre de la variable respecto a la cual se deriva. Este comando no puede ser tecleado con una simple d, si no que requiere ser introducido por la tecla correspondiente. Recuerde también el uso del comando solve previamente visto.
Determinación de puntos críticos de la expresión que da el área
Una forma adecuada de manipular la salida que da el comando solve es convertir la expresión en una matriz. El comando que hace esto es el comando exp>list (Léase exp to list). Este comando puede ser escrito directamente en el teclado buscando el caracter del pequeño triángulo relleno apuntando a la derecha o bien localizando el comando en el catálogo de funciones, para ello usted debe entrar en catálogo y presionar después la primera letra del comando, lo cual lo ubicará al inicio de todos los comandos que inician con la letra e. Observe el formato del comando exp to list: El primer argumento debe ser la expresión de salida del comando solve y el segundo debe ser una lista formada con la o las variables que aparecen en la expresión y construida con llaves. Lo que entrega el comando es una matriz cuyos renglones son las soluciones encontradas por el comando solve y en las columnas van los valores de cada una de las variables en el orden dado en la lista. Los valores de la matriz se pueden obtener utilizando la referencia de renglón y columna usada en la manipulación de matrices por medio de corchetes.
Conversión de raíces a valores en una matriz
Podemos también encontrar el mínimo de la función de área por medio de un tratamiento gráfico. Para ello, debemos conocer que el sistema tienen nombres reservados de las funciones que puede graficar. Estas se llaman y1(x), y2(x), ... hasta y10(x). Lo que haremos primero será cambiar el nombre de la variable en la expresión de área de la lata: la pasaremos de r a x. Posteriormente, copiaremos la expresión del área al buffer primero seleccionando la fórmula, después presionando F1 y seleccionando la opción copy. Esto nos guardará la expresión que tenemos seleccionada.
Copiado de la expresión en x del área
Posteriormente, definiremos la nueva función y1(x) utilizando el comando define. La sintaxis es define f(x) = expr. Nosotros escribiremos define y1(x) = y pegaremos después del igual la expresión guardada en el bufer para presionar enter al final.
Definición de la función y1(x)
Posteriormente, exploraremos valores de la función y1(x) para diferentes valores de x de manera que tengamos idea de los rangos de valores en y donde es conveniente graficar.
Exploración del rango de valores de y1(x)
Habiendo visto los valores obtenidos, ingresamos en la definición de la ventana de graficación que es la aplicación WINDOW: En la TI89 se obtiene en combinación tecla con F2 y en la Voyage 200 además se puede ingresar apartir buscando window editor en el conjunto de aplicaciones. Una vez que se ha ingresado se modifican los valores de la ventana.
Ventana de graficación
Ya definida la ventana de graficación, podemos solicitar que se grafique la función y1(x) ingresando a la aplicación Graph.
Graficación de y1(x)
En el ambiente de graficación se puede invocar un procedimiento aproximando para determinar el mínimo de la gráfica en la ventana de graficación. Este comando se encuentra en el menú de F5.
Búsqueda del mínimo en la ventana
Dentro de la ventana de graficación se tienen algunas opciones que quizá vale la pena explorar como, por ejemplo, la escritura de texto en la ventana.
Escritura en la gráfica

Caso II

Hoja acanalada
Se desea construir una hoja acanalada usando una máquina de compresión especial que comprime una hoja plana y la transforma en una hoja que tiene el perfil de la función seno. Se necesita una hoja corrugada de 4 pies de largo cuya ondas tienen una altura de altura 2 pulgadas desde la línea central y cada onda tiene aproximadamente un periodo de 3 pi pulgadas. Nuestro problema consiste en determinar cuál es la longitud de la primera hoja.
Primeramente, limpiamos las variables que vamos a requerir. Definimos la forma de la función que da el perfil como una función del tipo seno: ajustamos la aplitud (del centro al punto más alto) para una altura de dos pulgadas y definimos la frecuencia para que concuerde con 3 pi.
Ajustes iniciales
Podemos definir una ventana gráfica adecuada para corroborar que la función tiene los valores convenientes. Vea que al explorar la gráfica el periodo coincide con 3 pi y que la altura es de 2.
Graficación de y1(x)
Observamos que en términos matemáticos el problema consiste en determinar la longitud de arco de la función y1(x) desde x=0 hasta x=4*12=48. Normalmente, la integral involucrada en la longitud de arco es difícil de integrar en forma analítica y por ello vamos a requerir un integral numérica. Verifique que la opción de cálculo aproximado esté habilitada. Definimos en la variable f la función que debemos integrar y es la correspondiente a la fórmula de la integral de longitud de arco.
Integrando en la fórmula de la longitud de arco
Lo que resta es determinar la integral numérica correspondiente. Para ello utilicemos el comando de integración: Observe en su teclado donde aparece el símbolo de integral. Los argumentos del comando de integración: el primer argumento es la expresión a integrar, seguido de la variable con respecto a la cual se integra y posteriormente los límites de integración. Todos estos argumentos separados por comas.
Cálculo de la longitud de arco

Caso III

Volumen delimitado por una región
Se debe calcular el volumen que delimita la superficie z=1/(1+x2+y2) y la región en el plano x-y deimitada por las rectas x=0, y=0 y y=2-x.
Capturemos primeramente la expresión de la función. Recordamos que el volumen se calcula como una integral doble; en vista que la región de integración es un triángulo y no un rectángulo, en la integral con respecto a y el límite superior depende de x. Para calcular la integral utilicemos el comando de integración que viene en el menú de cálculo (F3 en el ambiente calculadora).
Limpiando variables y definiendo la expresión
Para construir la integral doble recurrimos dos veces al comando de integración; debemos indicar los cálculos en forma ordenanda cuidando los paréntesis. Observe con detalle la siguiente figura.
Preparando la integral doble
Después de algunos segundos la calculadora entrega el resultado.
Resultado de la integración doble
Suponga que también queremos tener una idea gráfica de la forma de la función (por si tuvieramos la impresión que la función entregue valores negativos en la zona que deseamos integrar). Para ello debemos primero cambiar el modo de graficación de nuestra calculadora a modo 3D. Para ello presionamos la tecla MODE; escogemos la opción Graph y porteriormente escogemos la opción 3D. Presionamos ENTER dos veces para salir.
Opción gráficas en 3D
El segundo paso es definir los parámetros de la ventana de graficación. La ventana correspondiente La pantalla de declaración WINDOW se obtiene con la composición de la tecla verde y F2. Ajustemos los parámetros.
Parámetros de la pantalla gráfica en 3D
El tercer paso es definir la función que queremos graficar. Las funciones z1, z2, etcétera, son palabras reservadas para los nombres de las funciones en dos variables que se graficarán en 3D. Para definir la función z1 y con un poco de flojera copiemos el texto de la función f: tecleemos f y seleccionemos la expresión; posteriormente presionemos F1 y seleccionemos copiar. La verdad también es que mediante el copiado y pegado reducimos los errores de escritura.
Copiando la fórmula que se tiene en f
Ahora declaremos z1; escribamos define z1(x,y)= y peguemos la expresión que tenemos en el bufer y presionemos ENTER después de pegar:
Definiendo f pegando el buffer
Finalmente, presionando Graph (Tecla y F3) obtenemos la gráfica después de algunos segundos.
Definiendo f pegando el buffer
En la calculadora TI voyage 200 es posible hacer la gráfica usando curvas de nivel. Para escoger esta opción en la declaración de parámetros del ambiente de ventana gráfica WINDOW; escogemos F1 para definir formatos; ingresamos en Format y cambiamos el estilo a curvas de nivel (Style).
Estilo de curvas de nivel en gráficas 3D en la TI Voyage
Al volver la generar la gráfica en la ventana Graph debe desplegarse nuestra función. Usted puede moverse con las flechas del cursor para buscar un mejor ángulo para la gráfica.
Curvas de nivel en gráficas 3D en la TI Voyage

Caso IV

Datos experimentales
xyz=f(x,y)
-0.79 -2.8 6.62283
-3.01 1.26 43.5
4.27 -1.01 81.464
2.2 -1.71 26.4777
-3.2 3.89 58.7983
4.06 -0.28 71.3865
-3.81 -3.97 53.9584
-2.4 -1.92 23.6118
-4.44 -0.08 79.7842
1.21 3.86 14.7199
Ajuste los datos experimentales a un modelo de la forma z=A + B x + C y + D x2+E x y + F y2 Lo primero que debe hacer es tener los datos; si suponemos que son tantos que capturarlos no es una opción, entonces sólo dos formas de adquirirlos: Una vez que los datos están listos nuestro problema consiste en resolver por mínimos cuadrados un sistema de la forma A x = b. Esta matriz A no es la matriz de datos: La matriz A es la matriz de coeficientes para los parámetros del modelo. Si ud. está interesado en el desarrollo teórico puede consultar esta liga. La matriz de coeficientes se puede construir a partir de la matriz de datos como ilustra las siguientes figuras.
Matriz de coeficientes para el ajuste
El vector de constantes para el sistema a resolver es la columna 3 de los datos experimentales.
Vector de constantes para el ajuste
Los valores de los parámetros que mejor ajustan se determinan via una factorización QR de la matriz de coeficientes.
Determinación de los parámetros via mínimos cuadrados