Matemáticas Avanzadas

Caso IV: Multiplicadores de Lagrange

Encuentre los puntos máximos y mínimos relativos de la función:
f(x,y,z)=2x+6y+10z
Sujeta a la condición
x2+y2+z2=35
Para resolver este problema utilizaremos la teoría de los multiplicadores de Lagrange que viene descrita aquí. La cual indica que debemos reescribir las restricciones en el formato g=0 y construir la función
F(x,y,z,t) = f(x,y,z) + t*g(x,y,z)
Seguido de esto debemos encontrar los puntos estacionarios para la función F. Una vez encontrados los puntos para determinar si son máximos o mínimos, debemos calcular una serie de determinantes de la Hessiana de la función F. Estos determinantes se van obteniendo de la hessiana en cada punto borrando los primeros renglones y las primeras columnas. Así que definiremos una función que borra las primeras columnas y los primeros renglones de una matriz cuadrada dada. La primera línea de código indica que la única variable local es n, que será utilizada para determinar la dimensión de la matriz a. En la segunda línea de código se determina la dimensión de la matriz. Haciendo uso del comando submat se toma la parte de la matriz a que va desde la posición (1+i,1+i) hasta la posición (n,n).
Función para borrar primeras i filas y columnas de una matriz a
Hagamos los preparativos de nuestros cálculos: borremos las variables a usar, declaremos la función f, declaremos la restricción g, construyamos la función F (que salvaremos en fb) y declaremos las variables del problema.
Inicio del problema
Utilizando las funciones para el cálculo del gradiente y de la matriz Hessiana de una función programadas en el caso anterior obtengamos las correspodientes a fb:
Gradiente y Hessiana de fb
Encontremos los puntos críticos de fb primero formando el sistema con las parciales igualadas a cero.
Puntos críticos de fb
Ahora convertimos los puntos en el formato de renglones de una matriz que es el más conveniente para nuestra manipulación. Los dos puntos críticos aparecen en la matriz en la parte superior de la imagen.
Puntos críticos de fb en formato matricial
De acuerdo al criterio para determinar la naturaleza de cada punto crítico, se deben calcular los determinantes hasta orden n-m donde n es el número de variables en nuestra función original y m es el número de restricciones. En nuestro ejemplo n=3 y m=1; así debemos calcular dos determinantes sucesivos de la matriz hessiana: el determinante de la matriz hessiana original y el siguiente de la matriz hessiana a la que borrarmos el primer renglón y la primera columna. Sustituyamos en la Hessiana el primer punto y calculemos los determinantes correspondientes:
Cálculo para el primer punto crítico
Ahora hagamos el cálculo para el segundo punto crítico.
Cálculo para el segundo punto crítico
Concluimos que